卵形曲線の方程式(その2)

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卵形曲線の方程式（その2）

伊藤　忠夫　氏（奈良県生駒市在住）,　山本信雄

   「卵形線」の数学的な定義は Ikuro 氏のサイト「デルトイドの幾何学(その9)」の冒頭に書かれていますが、ここでは、現実の鶏卵に近い形を与える曲線の方程式を追求し、その曲線を暫定的に「卵形曲線」と呼ぶことにします。
    伊藤氏の発案よる新たな卵形曲線について、氏より報告が寄せられました。氏のご了承の上に、メールで戴いた資料をもとにして、山本が計算を進め、再構成してみました。
    なお、卵形曲線を表す方程式は、意外にもそう簡単には見つかりませんので、本稿もまた一つの貴重なものとなるでしょう。
    このページのお問い合わせは、伊藤氏のメール　t_ito@kcn.ne.jp　になさるとよいでしょう。伊藤氏は「トーラスの測地線」のページにもコメントを書かれています。

1.　平面位相角 θ を媒介変数として表示する卵形曲線

図1　伊藤忠夫氏発案[(1)式]の卵形曲線。
ただし、－π≦θ≦π の範囲

提案の卵形曲線の方程式は、平面位相角 θ を媒介変数として次のように表します。

. (1)

の場合につき，

の値をいろいろ変えて (1)式をコンピュータで計算させてグラフに表すと，図1のようになります。

のときの卵形曲線と山本の卵形曲線（こちら

を参照）とを比較すると図2のようになって、両者ほとんど一致します。ただし、比較のため、前者は

方向に

の値だけ平行移動させています。

(1)式における

の定義範囲を除外して広範囲（実際には、

ですべての

に対する曲線が含まれます。）に設定すると、 (1)式を表す曲線は図3のようになります。ただし、

かつ、

の場合を例に示した。この外周が図1の卵形曲線となります。


図2　伊藤氏の卵形曲線（Itou's）と山本のそれ（Yamamoto's）との比較。ただし、比較のため、伊藤氏のはｘ方向に a(=0.5) の値だけ平行移動させた。	図3　伊藤氏の卵形曲線［（1)式］で、 θ のすべての範囲を示した場合各カーブ a, b, c, d については本文を参照のこと。

図4　のときの卵形曲線
（ピンク色のカーブ）と現実の卵の形との比較

かつ、

の場合（一般的条件は、

）が最も現実の卵に近いようです。これを図4に示します。

図3の各カーブ a, b, c, d は、以下に示す

の各範囲に対応します。

,           (2)
ただし、n は整数。

    (2)式の表示ではよく分からないので、n=0 として示しますと次の範囲になります。

.           (2)'

    しかし、(2)'式の各範囲は複雑に交差しながら重複しているので、未だよく分かりません。そこで、重複しないように真ん中の範囲のみを抜き出すと、次の表示になり、スッキリします。

. (2)''

(1)式を数値計算して図1の卵形曲線群を得るための C++ プログラムはこちら

です。画面表示のプログラムをマウスでドラッグしてコピーを取ると、自由にご利用できます。
また、

=0.5,

=0.37 の場合の 1個の卵形曲線を得るための C++ プログラムはこちら

です。このプログラムで、定数

の数値を変えることにより卵形の形を変えることができます。付け足しとして、図3の卵形原型曲線を得るための C++ プログラムはこちら

です。
    次に、 C++ システム・ファイル上の「ファイル」の中の「新規作成」をクリックすると、編集画面が現れますが、この画面に上記コピーしたプログラムを貼り付けます。場合によっては編集も行います。そして、「ビルド」をクリックすると実行ファイルが作成されます。さらに、「実行」をクリックすることにより、上記どちらのプログラムでも、「egg_shaped_curve.txt」という名のテキストファイルが作られて、計算されたデータ(卵形曲線上の各 x-y 座標点の座標データ)が格納されます。
    次に、このテキストファイルに格納されたデータをエクセルファイルに移し変えます。それには、エクセルファイルの「外部データの取り込み」機能で行います。ただし、ここに紹介した計算プログラムの場合、テキストファイルに保存されるデータ間の仕切りはカンマ（，）で指定してありますので、「外部データの取り込み」にはこれを選択します。
    最後に、エクセルファイルに移された各列の x-y 座標データ全てをドラッグした後に、エクセルファイルにある「グラフウィザード」をクリックして、その中の「散布図」を選び、スムーズなカーブになる絵図をクリックすると卵形曲線が描かれます。
    なお、図3の曲線を得るためには、プログラムの中の

の掃引を -2π から +2π の範囲に拡大するとよいでしょう。

［参考］　図3の曲線を表す

と

の関係式

(1)式の各式を2乗すると、

, (3) および、

. (4)
三角関数の公式

と

を(4)式に適用すると、

.
上式に(3)式を代入して、

.
上式を整理すると、

.
上式両辺の2乗を取れば、

.
三角関数の公式

を上式に適用すると、

.
これに(1)式を代入して、

.
上式を整理して、見やすい形に整えると、

, (5)
のような５次方程式が得られ、これは、山本の卵形曲線（こちら

）の(9)式より次数が1つ増えて、より複雑になります。

2.　擬球を斜めに平面で切った断面の卵形曲線  (伊藤氏記)

    直円錐を斜めに平面で切ると、その切り口は卵形になるように思えますが、実際は楕円になります。これはよく知られています。

    双曲幾何をユークリッド世界で実現できる擬球というものがあります。それは回転面ですが、円錐ではなくて裾の広がったスカートに似ています。ですから、擬球を斜めに平面で切れば、その断面は卵形になるはずだと思われます。実行してみると、図5に示すように、確かに卵形が得られます。